În orice domeniu de activitate oamenii se confruntă cu probleme, unele rezolvându-le cu ușurință, altele necesitând eforturi mari de căutare a soluției. O problemă care necesită efort de căutare a soluției este problema de numărare care se soluționează folosind  principiul lui Dirichlet.
În literatura matematică principiul lui Dirichlet este întâlnit şi sub denumirea de ,,principiul cutiei”, cu precizarea că denumirea de ,,cutie” desemnează ,,grupe de obiecte”, stabilite după anumite reguli, iar ,,obiectele” desemnează lucruri, numere, figuri geometrice etc.
Chiar dacă principiul este binecunoscut, originile lui sunt obscure.  Acest principiu a fost folosit de către Dirichlet într-o lucrare din 1879, dar a fost cu siguranță folosit și anterior: Gauss a folosit acest principiu în Disquisitiones Arithmeticae (1801) și este foarte probabil ca el să fi fost folosit și mai înainte în literatură. În literatură, acest principiu poate fi întâlnit sub denumirea de principiul sertarelor și obiectelor.
Principiul lui Dirichlet este o teoremă matematică care afirmă că, dacă există n obiecte dispuse în n-1 cutii, atunci există cel puțin o cutie care conține două obiecte.
Ceea ce caracterizează problemele în care se foloseşte acest principiu, este dificultatea de a le aborda pe căi cunoscute. În general, principiul cutiei este un principiu de numărare care în ultimul timp a căpătat o mare popularitate fiind pus la baza unui număr mare de probleme, unele chiar dificile. La rezolvarea unor probleme este util de aplicat principiul Dirichlet generalizat. Principiul Dirichlet ajută și la rezolvarea problemelor de geometrie. Vom prezenta în continuare o problemă a cărei soluţii se bazează pe principiul de mai sus:
Problemă
La Olimpiada de matematică, dintr-o clasă de 40 de elevi, 25 de elevi au rezolvat prima problemă, 30 de elevi au rezolvat a doua problemă, 35 de elevi au rezolvat a treia problemă și 33 de elevi au rezolvat a patra problemă. Să se arate că  cel puțin 3 elevi au rezolvat toate cele 4 probleme.
Soluție
Presupunem că nici un elev nu a rezolvat toate cele 4 probleme, deci fiecare a rezolvat cel mult trei. Dacă fiecare a rezolvat câte trei probleme, atunci cei 40 de elevi au rezolvat 120 de probleme. Dar numărul de probleme rezolvate de cei 40 de elevi este 25+30+35+33=123. Deci avem în plus 3 probleme rezolvate. De aici rezultă că cel puțin trei elevi au rezolvat toate cele patru probleme.
De remarcat ar fi faptul că în general, când într-o problemă se cere să se arate că există cel puțin n elemente cu o anumită proprietate, este bine să considerăm că există cel mult n-1 elemente cu acea proprietate și, din analiza cazului se ajunge la soluția problemei.
Acest tip de principiu se regăsește în problemele de concursuri și olimpiade școlare deoarece necesită o gândire bazată pe raționament și intuiție.       
Profesor, TIȚESCU ELENA
Școala Gimnazială “Naum Râmniceanu”- Corbi

(Postat februarie 2014)

ŞCOLILE DIN ARGEŞ

PUBLICITATE

Go to top